Общие теоремы динамики системы точек

Основные (общие) теоремы динамики систем свободных материальных точек являются уравнениями движения систем свободных материальных точек, т. е. математически дифференциальными уравнениями изменений основных мер движения.

1. Для точки уравнение движения относительно инерциальной системы отсчёта:

Перенесём все векторы, не изменяя их направления, в центр масс и сложим геометрически:

.

Производная по времени от количества движения системы свободных материальных точек равна геометрической сумме внешних сил. Это теорема об изменении количества движения системы.

Так как то

.

Это уравнение движения центра масс системы материальных точек с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сумма всех внешних сил (главный вектор внешних сил ) или теорема о движении центра масс.

2. Умножим уравнение движения точки слева векторно на и геометрически сложим, перенося векторы в центр масс:

.

Теорема об изменении кинетического момента системы:

Производная по времени от кинетического момента системы свободных материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил (главному моменту всех внешних сил).

Существенно: моменты количества движения и моменты сил вычисляются относительно общего неподвижного начала.

3. Умножая скалярно уравнение движения точки на и суммируя:

или

.

Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Дифференциал кинетической энергии системы свободных материальных точек равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил.

Интегралы уравнений движения системы:

1) Если равен нулю главный вектор внешних сил, то = const, то есть центр масс системы свободных материальных точек движется равномерно и прямолинейно.

2) Если главный момент внешних сил равен нулю, то сохраняется кинетический момент системы свободных материальных точек:

.

3) Если внешние и внутренние силы консервативны, то

Здесь:

— потенциал внешнего силового поля;

— потенциал взаимодействия точек;

— потенциальная энергия системы точек во внешнем поле;

— потенциальная энергия взаимодействующих точек.

Контрольные вопросы:

1. Чем математически являются общие теоремы динамики системы материальных точек?

2. Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента системы.

3. Напишите интеграл энергии для системы материальных точек.

Лекция 20. Динамика вращательного движения тела

Пусть твёрдое тело вращается относительно неподвижной оси. Тогда уравнения движения значительно упрощаются.

Действительно:

1) — кинетический момент.

Во вращательном движении , поэтому .

Но из .

Итак:

,

где — момент инерции относительно оси вращения Z.

Уравнение движения:

окончательно, .

2) Кинетическая энергия:

.

Итак,

.

Моменты инерции некоторых тел (рис. 55):

1 Тонкий прямой стержень

2. Тонкое кольцо (обод)

3. Сплошной диск

Пример:

Рис.56.

По теореме об изменении кинетического момента системы:

Таким образом, при вращательном движении твёрдого тела удобно пользоваться соотношениями теоремы об изменении кинетического момента системы.

Контрольные вопросы:

1. Каковы особенности расчётных формул для вращательного движения тела?

2. Напишите формулу кинетической энергии для вращающегося тела.

3. Как найти момент инерции при вращении тонкого кольца?