Частные виды силовых полей
1) Сила зависит только от времени – поле однородно, но не стационарно.
.
Тогда:
;
.
Аналогично, для y и z.
2) Проекции силы зависят только от соответствующих координат.
.
Умножая на dx и интегрируя:
.
Дифференцируем снова для проверки:
; .
Положим:
.
Тогда:
(знак берётся из начальных условий).
Разделяя переменные:
.
3) Проекция силы зависит лишь от проекции скорости на эту же ось.
.
Обозначая:
.
Разделяя переменные:
.
Таким образом, в каждом из трёх частных случаев силовых полей по заданным силе, массе и начальным условиям определены выражения для скорости и ускорения точки.
Контрольные вопросы:
1. В чём суть метода разделения переменных при решении дифференциальных уравнений?
2. В чём особенность интегрирования уравнения движения точки, если сила зависит только от координаты?
3. В каких реальных задачах сила зависит от скорости движения точки?
Лекция 18. Основы динамики системы точек
Рассмотрим движение n свободных материальных точек относительно инерциальной системы отсчёта (рис. 53).
Рис.53.
— масса точки .
Масса всей системы:
.
Центром масс системы назовём точку С, радиус – вектор которой равен
,
где .
Основные меры движения системы материальных точек:
1. Суммарное количество движения системы (геометрическая сумма количества движения материальных точек).
, где — скорость точки .
Рассмотрим систему точек с постоянными массами => дифференцируя :
;
где — скорость центра масс.
Итак,
Количество движения системы материальных точек равно количеству движения массы всей системы, сосредоточенной в центре масс.
2. Сумма моментов количества движения или кинетический момент системы:
.
представляется в виде одночлена только в случае одинаковых скоростей всех точек системы.
3. Кинетическая энергия системы:
Тоже не всегда представлена в одночленной форме.
Силы разделим на внешние и внутренние.
Внешние силы действуют со стороны масс, не входящих в систему.
Внутренние силы – силы взаимодействия между точками системы.
Обозначим:
— суммарная внешняя сила к точке
— суммарная сила взаимодействия точки c остальными точками системы.
Деление на внутренние и внешние силы условно.
Получим некоторые свойства внутренних сил.
Рис.54.
Рассмотрим точки и (рис. 54).
Из 3 – го закона Ньютона:
.
Внутренняя сила на точку :
.
Очевидно:
.
Итак, сумма внутренних сил и сумма моментов внутренних сил равны нулю относительно любой точки и любой оси.
Рассмотрим сумму элементарных работ внутренних сил.
Пусть , где ,
— расстояние между точками .
Работа на элементарных действительных перемещениях сил взаимодействия двух точек :
.
Обозначим сумму элементарных работ внутренних сил :
(d – означает «на элементарных перемещениях»)
Контрольные вопросы:
1. Что называется центром масс системы материальных точек?
2. Назовите основные меры движения системы материальных точек.
3. Перечислите свойства внутренних сил системы точек?